di Alessandro Dolci
Come il Suono della Creazione dimostra il più grande Mistero della Matematica
“I matematici hanno provato invano fino a oggi a scoprire qualche ordine nella sequenza dei numeri primi, e abbiamo ragione di credere che questo è un mistero nel quale la mente non penetrerà mai”.
Sono le parole di Leonhard Euler (Basilea, 1707 – San Pietroburgo, 1783), uno dei più grandi matematici della storia. Ancora oggi, tre secoli dopo Eulero, i Numeri Primi restano avvolti nel più totale mistero, tanto che il famoso matematico e divulgatore scientifico Marcus de Sautoy, nel suo libro “L’enigma dei Numeri Primi” (titolo originale: “The music of the primes”), così si esprime:
“Al centro della matematica, della ricerca dell’ordine, i matematici riescono a sentire soltanto il suono del caos. I matematici non sopportano di dover ammettere che non esista una spiegazione del modo in cui la Natura ha scelto i numeri primi. Se la matematica non avesse una struttura, se non possedesse una sua meravigliosa semplicità, non varrebbe la pena di studiarla.” E ancora:
“È vero che i fisici si stanno sempre più abituando all’idea che un dado quantistico decida il destino dell’universo e che ogni lancio di questo dado determini dove gli scienziati troveranno della materia. Ma provoca un certo imbarazzo dover ammettere che i numeri fondamentali su cui si basa la matematica siano stati dispiegati dalla Natura gettando una moneta, decidendo con ciascun lancio il destino di un numero. Casualità e caos sono anatemi per il matematico”
I Numeri Primi sono i numeri indivisibili in parti uguali intere. In Cina sono chiamati “numeri virili”.
La loro disposizione è totalmente caotica e imprevedibile.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 … ?
È impossibile stabilire quale sarà il prossimo numero della serie considerando la sequenza in modo lineare.
Fino a oggi non si è riusciti a comprendere alcuna logica o processo che possa determinare la loro disposizione. Il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica che risale a Euclide (IV secolo a.C. – III secolo a.C.), insegna che tutti i Numeri Naturali sono il risultato di una e una sola combinazione di fattori primi. Per questo i Numeri Primi sono anche definiti gli Atomi della Matematica, e c’è una connessione molto profonda tra il comportamento dei Numeri Primi che sono gli Atomi della Matematica e il comportamento degli Atomi veri e propri, che lega quindi Fisica Quantistica e Teoria dei Numeri, i misteri dei numeri con quelli della materia.
Nel 1973, al leggendario Institute for Advanced Study di Princeton, il matematico Hugh Montgomery (1944) e il fisico Freeman Dyson (1923-2020), si accorsero che la Distribuzione dei Numeri Primi è statisticamente uguale a quella dei livelli energetici del nucleo di un atomo pesante. Comprendere i Numeri Primi significa quindi anche penetrare i misteri della Fisica Quantistica. Lo stesso Albert Einstein, di fronte alla rivoluzione del caos Quantistico, ebbe un moto di rifiuto, con il suo famoso: “Dio non gioca a dadi!”
Cosa sta dietro al caos apparentemente impenetrabile dei Numeri Primi e dei caotici movimenti che animano la struttura microscopica della Materia? Un tiro di dadi, o qualcosa di più?
Da più di 2000 anni i matematici provano invano a svelare il Mistero dei Numeri Primi.
Alcuni risultati importanti sono stati comunque raggiunti. Il primo di essi risale a Euclide, che per primo ne dimostrò l’infinità. Successivamente, Eratostene (Cirene, 276 a.C. circa – Alessandria d’Egitto, 194 a.C. circa) elaborò il suo famoso Crivello, un ingegnoso sistema per “setacciare” i Numeri Naturali eliminando progressivamente i multipli di ogni numero, considerando poi soltanto quelli rimanenti, che sono quindi i Numeri Primi. Questo sistema è ancora oggi alla base di molti algoritmi di fattorizzazione e crittografia. Ma anche qui, una volta individuati i Numeri Primi, si arriva a una barriera insormontabile e ci si deve fermare, senza poter comprendere la struttura dietro di essi. Il primo risultato dirompente lo si deve comunque a Carl Friedrich Gauss (Braunschweig 1777 – Gottinga, 1855), il Beethoven della matematica. Gauss si accorse che se si abbandona l’idea di scoprire ciò che determina la posizione esatta dei Numeri Primi e si cerca invece di contarli, emerge una regolarità straordinaria. La quantità dei Numeri Primi cresce in un modo strettamente correlato alla funzione Logaritmo Integrale. La straordinaria scoperta di Gauss porterà a quello che oggi si chiama Teorema dei Numeri Primi, che sarà dimostrato solo molto più tardi alla fine del XIX Secolo.
Alla scoperta di Gauss si lega quello che è ad oggi il più importante risultato sui Numeri Primi ad opera di Bernhard Riemann (Breselenz, 1826 – Selasca, 1866), il Wagner della Matematica. Riemann scoprì e dimostrò che gli infiniti zeri non banali di una funzione legata ai numeri complessi, chiamata in suo onore Funzione Zeta di Riemann, se sommati tutti quanti, sotto forma di onde sonore, alla funzione Logaritmo Integrale, forniscono la quantità esatta di numeri primi e quindi, di conseguenza, la loro posizione. Ecco che emerge un primo collegamento con il suono e quindi con la musica, che molti esperti di Teoria dei Numeri hanno chiamato Musica dei Numeri Primi. C’è solo un problema: gli zeri di questa funzione, oltre a essere infiniti e difficilissimi da calcolare, sembra siano tutti numeri irrazionali, quindi formati da infinite cifre decimali non periodiche, e sembra siano anche numeri trascendenti, cioè esprimibili solo come limite di una serie infinita di operazioni, come il famoso numero Pi Greco. La loro corrispondenza con la posizione dei Numeri Primi è vera e dimostrata, ma rimane ancora qualcosa di molto oscuro.
Questa straordinaria connessione fa però intuire che al di sotto del caos che emana dalla disposizione dei Numeri Primi ci sia un’armonia arcana. Infatti, Riemann ipotizzò che questi zeri collegati alla distribuzione dei Numeri Primi siano tutti posizionati su una retta di valore ½ chiamata Retta Critica. Questa è la famosa Ipotesi di Riemann, ed è considerata oggi il più importante problema aperto di tutta la Matematica.
Se fosse vera, significherebbe che la quantità dei numeri primi cresce in modo straordinariamente regolare e vicino a quello della funzione Logaritmo Integrale, come se la Mano del Creatore che disegna la curva dei Numeri Primi avesse un’abilità straordinaria e non facesse alcun errore o sbavatura. Ci sarebbe da crederlo!
Successivamente, i più importanti lavori sui numeri primi di David Hilbert, George Pólya, Godfrey Hardy, John Littlewood, Atle Selberg, Paul Erdős, Alan Turing, John von Neumann, Enrico Bombieri, Terence Tao e tanti altri, ruotano per gran parte intorno all’Ipotesi di Riemann.
In tempi più recenti, risalta il lavoro dei fisici Giuseppe Mussardo della SISSA (Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati) di Trieste e Andrè LeClair della Cornell University di Ithaca (New York), pubblicato sul Journal of Statistical Mechanics (JSTAT). A seguito di un colossale e sofisticatissimo lavoro computazionale, Mussardo e LeClair saldano definitivamente il legame tra l’Ipotesi di Riemann e la Meccanica Quantistica, dimostrando che i dati dell’osservazione empirica rigorosa sanciscono la corrispondenza tra il comportamento dei Numeri Primi e quelli del moto Browniano degli atomi di gas che si urtano incessantemente tra loro, allontanandosi con un tempo di potenza 1/2, legato proprio alla disposizione degli Zeri non Banali della Funzione Zeta di Riemann, assumendo come vera l’Ipotesi di Riemann. Questo importante lavoro dà la conferma definitiva che dimostrare l’Ipotesi di Riemann significa anche dimostrare che la corrispondenza con la Fisica Quantistica vale per tutti gli infiniti Numeri Primi, chiudendo il cerchio del rapporto tra gli Atomi della Matematica e gli Atomi della Fisica.
Ma non è possibile dimostrare tutto ciò senza comprendere il Mistero più grande che riguarda i Numeri Primi, cioè la natura esatta delle loro fluttuazioni caotiche, così simile a quella delle particelle di un sistema quantistico. Ed è proprio questo Mistero ad essere dimostrato dal Suono.
Per capire come, dobbiamo tornare alla scoperta di Bernhard Riemann e alla sua Funzione Zeta, che come abbiamo visto rappresenta la prima connessione con la Musica dei Numeri Primi.
Infatti, la Funzione Zeta di Riemann è basata sulla Serie Armonica. Cos’è la Serie Armonica?
La Serie Armonica è il fenomeno acustico più semplice e basilare. Il primo a studiare profondamente questo fenomeno fu Pitagora (Samo, tra il 580 a.C. e il 570 a.C. – Metaponto, 495 a.C. circa), il quale scoprì che facendo vibrare corde di lunghezza diversa si ottenevano suoni di altezza differente. Secondo la Scuola Pitagorica, che risale al IV Secolo a.C., queste proporzioni numeriche legate ai suoni erano all’origine dell’Universo stesso e regolavano il moto dei corpi celesti: era il concetto di Armonia Universale.
Emergeva così una proprietà fondamentale delle corde vibranti: essendo fissate ai due estremi, le vibrazioni che producono possono solo essere multipli interi della vibrazione fondamentale, perché altrimenti la lunghezza delle vibrazioni non potrebbe coincidere con la distanza dei perni a cui la corda è fissata. Ogni volta che una corda viene eccitata, produce infinite vibrazioni che si propagano tra i due estremi: quella più ampia ha una frequenza che dipende dalla lunghezza totale della corda. Ve ne sono poi di più acute chiamate parziali armoniche, che sono infinite e che hanno frequenza doppia, tripla, quadrupla, quintupla e corrispondente a tutti i multipli della frequenza fondamentale. La frequenza è abitualmente misurata in Hertz, cioè in numero di vibrazioni al secondo. Maggiore il numero di vibrazioni, maggiore l’altezza della nota musicale percepita. A una frequenza maggiore corrisponde un periodo di vibrazione più breve, che nel caso delle parziali armoniche di una corda vibrante, corrispondono a un mezzo, un terzo, un quarto, un quinto e poi uno diviso tutti i numeri naturali, fino all’infinito, rispetto alla lunghezza della corda fondamentale. Proprio questa è la Serie Armonica, cioè l’insieme dei periodi delle frequenze armoniche di una corda vibrante, che sommate insieme danno il suo Spettro Armonico.
Lo Spettro Armonico, l’insieme della frequenza fondamentale e di tutte le sue parziali armoniche, definisce il Timbro di un suono. La Serie Armonica non è quindi specificamente collegata alla vibrazione delle corde, anche se la vibrazione delle corde è il modo più semplice per studiarla nella sua manifestazione fisica. La Serie Armonica è ciò che caratterizza anche il timbro della voce umana, ma pure tutti gli strumenti musicali ad altezza determinata, cioè quelli che producono note musicali ben definite, come fanno ad esempio una tromba, un violino o un pianoforte. La percezione di un’altezza definita dipende proprio dal fatto che tutte le parziali di un suono hanno tra loro le proporzioni della Serie Armonica, sono cioè multipli interi della frequenza fondamentale. La somma matematica dei periodi vibratori della Serie Armonica, che come abbiamo visto sono sempre più brevi al crescere della frequenza, è una serie infinita di frazioni il cui valore diverge, cioè è infinito. Questi termini frazionari hanno come numeratore 1 e come denominatore tutti i Numeri Naturali. I periodi di vibrazione della Serie Armonica equivalgono alla lunghezza di una corda divisa per tutti i Numeri Naturali, mentre le loro frequenze rappresentano la frequenza fondamentale correlata alla lunghezza della corda, a sua volta moltiplicata per tutti i Numeri Naturali.
La Serie Armonica è quindi il vero e proprio Suono dei Numeri Naturali. Ma sono i numeri a rappresentare i rapporti matematici del suono di una corda vibrante, oppure è il suono di una corda vibrante a rappresentare le proporzioni numeriche della Serie Armonica?
Il suono, di per sé, non esiste al di fuori del nostro cervello. Si forma per mezzo delle perturbazioni di densità e pressione che si propagano nell’atmosfera a partire da una sorgente vibratoria e che, raggiungendo la coclea attraverso il padiglione auricolare e il timpano, eccitano poi i neuroni cerebrali, i quali rispondono con determinati impulsi neurologici che noi chiamiamo “suono”, le cui qualità sono in realtà determinate proprio dalle frequenze, cioè dai rapporti numerici di queste vibrazioni. Quindi, se il suono è uno dei mezzi con cui noi percepiamo le quantità che rappresentiamo con i numeri, allora il Suono della Serie Armonica è il nostro modo di percepire i Numeri Naturali come Musica. Proprio sulla Serie Armonica, come abbiamo detto, è basata la Funzione Zeta di Riemann, che la estende al campo dei numeri complessi elevandone tutti i termini a un esponente complesso. I numeri complessi nascono come soluzione alla radice quadrata di numeri negativi, e il primo a utilizzarli in modo sistematico è stato il matematico italiano Rafael Bombelli vissuto nel XVI Secolo. Le operazioni con esponenti complessi si collegano al suono e alla musica perché danno luogo a fenomeni oscillatori che sono gli stessi delle onde sonore. Producono delle Onde Sinusoidali puramente matematiche che, in fisica acustica, rappresentano la vibrazione sonora più semplice in assoluto, corrispondente a una frequenza pura senza armoniche.
Nel mondo fisico, prima dell’arrivo dei sintetizzatori elettronici, il suono più simile a un’onda sinusoidale era quello del Diapason. Oggi, con il mezzo elettronico è possibile produrre delle sinusoidi pure in modo molto semplice. La lunghezza del ciclo dell’Onda Sinusoidale è il suo periodo, corrispondente alla frequenza cioè all’altezza della nota. La vibrazione di una corda può essere espressa come somma di infinite onde sinusoidali, ciascuna che rappresenta un armonico della Serie Armonica della corda. Questa somma di infinite onde sinusoidali si chiama Serie di Fourier, dal nome del matematico e fisico francese Joseph Fourier (Auxerre, 1768 – Parigi, 1830), il quale per primo scoprì che in questo modo è possibile rappresentare qualsiasi forma d’onda come somma di sinusoidi. Questo principio è ancora oggi usato per codificare la musica sui supporti fisici e digitali come CD e mp3. Se esiste un Suono dei Numeri Naturali, esiste anche un Suono dei Numeri Primi che sia percepibile come un suono reale e non come il suono immaginario di Bernhard Riemann?
Esiste, ed è proprio il Suono generatore dei Numeri Primi a svelare il mistero del loro caos apparentemente inestricabile, dimostrando come questo caos sia il prodotto della più perfetta Armonia Universale, cioè dall’Armonia delle Armonie, che è la Serie Armonica delle Serie Armoniche. Quella misteriosa armonia che Bernhard Riemann aveva intuito nelle intricate spirali della Funzione Zeta e nei suoi zeri sulla linea critica 1/2 è pienamente dimostrata dal Suono, e da un Suono udibile anche dall’orecchio umano! L’autore di questo articolo è impegnato in un progetto che renderà udibile questo suono come Musica vera e propria. Nel frattempo, dobbiamo accontentarci di immaginarcelo! Prima di addentrarci in questo Mistero, però, dobbiamo capire cos’è il Suono della Creazione e cosa rappresenta per la Scienza e per le diverse culture.
Per la Scienza, il Suono della Creazione è il suono dell’Universo Primordiale, che si riflette nelle fluttuazioni della radiazione di fondo, che è la parte più antica dei fotoni di luce che arrivano agli osservatori astronomici terrestri. La radiazione di fondo rispecchia lo stato dell’Universo più prossimo al Big Bang, quindi risalente a miliardi di anni fa, e proprio in base alle fluttuazioni della sua densità è possibile ricostruire una mappa dei primissimi istanti dell’Universo. Queste fluttuazioni di densità sono paragonabili a delle onde sonore con i loro armonici, alcune di esse dette stazionarie, proprio come quelle delle corde vibranti. Con l’unica differenza che le onde sonore del suono dell’Universo Primordiale hanno periodi lunghi milioni di Anni Luce!
Il Suono della Creazione, dal Big Bang risuona poi in numerose Tradizioni e Culture, a cominciare dal soffio dello Shofar. Alcune tradizioni ne fanno addirittura il proprio nucleo centrale, e tra queste ci sono la tradizione Vedica e quella Buddhista, che identificano il Suono della Creazione con l’OM. Anche se tutte le tradizioni religiose del mondo hanno radici comuni, ognuna ha scelto un particolare elemento caratterizzante, e purtroppo, in molti casi, questo attaccamento alle particolarità ha generato e genera ancora numerosi conflitti. Ognuna lotta affinché la propria particolarità venga identificata come quella “giusta”, senza capire che lo sono tutte! L’unica cosa certa, è che la lotta impedisce a tutti di raggiungere l’agognata meta, che è quella del Ritorno alle Origini, cioè all’unione completa e perfetta con il Divino. Comunque, per i Veda e i Buddhisti questo elemento è il Suono dell’OM.
Arriviamo ora al cuore del Mistero, cioè a comprendere la struttura di questo Suono che contiene in sé la dimostrazione matematica della Coincidentia Oppositorum. La più perfetta Armonia Razionale della Serie Armonica, a partire unicamente da se stessa e in un processo generativo dalla straordinaria natura frattale, fa emergere la più intricata e irrazionale delle complessità: quella della Distribuzione dei Numeri Primi, che si comportano come i moti quantistici caotici degli atomi. In che modo?
Per capire la natura della Serie Armonica delle Serie Armoniche che genera i Numeri Primi, dobbiamo comprendere uno dei fenomeni fisici più straordinari: quello della vibrazione simpatica, il fenomeno per il quale un corpo elastico può vibrare anche se non viene sollecitato direttamente. In altre parole: Risonanza. Prima ancora che attraverso la fisica acustica, è un fenomeno che sperimentiamo noi stessi nel nostro rapporto con gli altri, con ciò che si chiama Empatia. Tutto quello che gli altri fanno o dicono, risuona in noi e fa vibrare alcune corde della nostra Anima. Ma queste vibrazioni non sono di certo un fatto soltanto teorico. Sono vibrazioni fisiche che coinvolgono le nostre cellule e i nostri neuroni, in particolare i neuroni specchio, e sono ciò che ci connette agli altri e al mondo che ci circonda.
Venendo ora alla Fisica Acustica, la vibrazione simpatica significa che un corpo eccitante attivo fa risuonare alcuni corpi sonori passivi. Questo può succedere con i Diapason. Ma succede anche con le corde. Alcuni strumenti, come ad esempio il Sitar, hanno delle corde simpatiche che vibrano quando vengono pizzicate le corde principali. Non è sorprendente che proprio il Sitar, uno degli strumenti musicali principali della tradizione Induista incentrata sull’OM, sia basato sul principio di risonanza delle corde simpatiche?
Ma cos’hanno a che vedere le vibrazioni simpatiche con i Numeri Primi?
Per capirlo, dobbiamo ritornare al rapporto tra la Serie Armonica e la Corda Vibrante. I rapporti numerici della serie armonica corrispondono ai periodi di vibrazione delle armoniche di una corda. Se però guardiamo alle frequenze, ci accorgiamo che le frequenze misurate in Hertz (vibrazioni al secondo) delle parziali armoniche di una corda sono tutti gli infiniti multipli interi della sua frequenza fondamentale. Il concetto di moltiplicazione e di multiplo è fondamentale per i Numeri Primi, perché i numeri primi sono quei numeri che sono multipli soltanto di se stessi e di uno. Se noi consideriamo un numero naturale come la frequenza fondamentale di una corda vibrante, e i suoi multipli come le sue infinite parziali armoniche, tutta la struttura dei Numeri Naturali ci appare in una luce nuova e più chiara, e al contempo emerge all’interno di essi un’armonia multidimensionale di infinita complessità.
Questa struttura è chiaramente rappresentata dalla famosa Tavola Pitagorica. Se la consideriamo dal punto di vista delle risonanze simpatiche collegate alle corde vibranti, abbiamo quindi una corda fondamentale, composta da frequenze in Hertz il cui rapporto corrisponde a tutti i Numeri Naturali che sono multipli di uno, posizionata nella prima riga e nella prima colonna della Tavola Pitagorica. Ciascun armonico di questa corda fondamentale corrisponde a un numero naturale e fa risuonare a sua volta una corda simpatica che ha le armoniche con frequenze corrispondenti a tutti i multipli di questo numero naturale: le corde simpatiche sono le righe e colonne interne alla Tavola Pitagorica.
La prima corda simpatica corrisponderà al numero 2 e avrà armonici le cui frequenze corrispondono a tutti i multipli di 2, quindi 4, 6, 8, 10 … La seconda corda simpatica corrisponderà al numero 3, con armonici che sono i multipli di 3: 6, 9, 12, 15 … Poi la terza corrisponderà ai multipli di 4 che sono 8, 12, 16, 20 … la quarta ai multipli di 5 e così via fino all’infinito. Parliamo quindi di infinite corde simpatiche eccitate da una corda fondamentale, che risuonano in sintonia con essa, ognuna corrispondente a ognuna delle infinite armoniche della corda fondamentale. Ciascuna delle armoniche della corda fondamentale, rappresenta la fondamentale della rispettiva corda simpatica. Si tratta di una struttura frattale, perché in realtà ognuna della serie armoniche delle corde simpatiche è contenuta a sua volta nella serie armonica fondamentale. Scopriamo quindi che la Serie Armonica è composta da infinite copie di se stessa, ognuna costruita a partire da ogni suo armonico. Se la vibrazione di una corda può essere considerata il Suono che rappresenta i Numeri Naturali, il suono generato dalla vibrazione di infinite corde simpatiche eccitate da una corda vibrante fondamentale, può essere considerato il Suono della Tavola Pitagorica. La Tavola Pitagorica è un quadrato e, se noi consideriamo l’insieme dei periodi delle vibrazioni della corda fondamentale e delle infinite corde simpatiche, questo è il reciproco della Tavola Pitagorica e corrisponde all’Uno diviso per tutti i termini della Tavola Pitagorica. Ciò che otteniamo è la Serie Armonica elevata al quadrato, cioè il Quadrato della Serie Armonica. Il Quadrato della Serie Armonica determina quindi la posizione esatta degli infiniti Numeri Primi.
Non è difficile immaginare che l’OM, il Suono Fondamentale dell’Universo che emana dal Suono della Creazione, sia basato sulla Serie Armonica, e quale migliore rappresentazione di questo Suono che la Serie Armonica delle Serie Armoniche, dal cui spettro di frequenze i Numeri Primi emergono come uno dei fenomeni più complessi della Matematica e della Natura?
Per scoprire cosa succede nell’interazione di questa infinita serie di vibrazioni armoniche e di risonanze simpatiche generate dall’OM, dobbiamo quindi introdurre il concetto di Spettrogramma. Come abbiamo visto, il nostro cervello, servendosi del timpano e della coclea, traduce le vibrazioni e i loro rapporti quantitativi in suono. Lo spettrogramma traduce invece questi rapporti quantitativi in immagini. La struttura di un suono può essere rappresentata visivamente in due modi: nel dominio del tempo e nel dominio delle frequenze. Ciò che rappresenta un suono nel dominio del tempo si chiama oscilloscopio. L’oscilloscopio ci mostra come varia l’ampiezza di una vibrazione nell’arco del tempo, cioè le sue oscillazioni: disegna quindi una curva che descrive la Forma d’Onda di un determinato suono. L’asse orizzontale delle ascisse rappresenta il tempo e l’asse verticale delle ordinate l’ampiezza. La forma d’onda di un suono è definita dalla sua Serie di Fourier, cioè da una somma di infinite onde sinusoidali, le componenti basilari del suono. Ciò che vediamo in figura è la forma d’onda dell’OM, il Suono della Tavola Pitagorica corrispondente a infinite Corde Vibranti, rappresentato come in un oscilloscopio: questa forma d’onda è generata da una serie di Fourier ben precisa.
Lo spettrogramma, invece, rappresenta l’ampiezza delle Frequenze di un determinato suono, cioè il suo spettro armonico. È come se il suono venisse scomposto nelle sue componenti di base, come succede con la luce in un prisma o quando vediamo l’arcobaleno. Le componenti di base sono le onde sinusoidali che compongono la Serie di Fourier di questo determinato suono. Nello spettrogramma, l’asse orizzontale delle ascisse è quindi la frequenza e quello verticale delle ordinate l’ampiezza. Per ogni frequenza, lo spettrogramma ci mostra quanto è ampia la sua presenza in un suono, cioè quanto è ampia l’onda sinusoidale che corrisponde a questa frequenza (chiaramente, se la frequenza non è presente, la sua ampiezza sarà zero). Se usiamo anche il colore, possiamo rappresentare un suono come un’immagine multicolore in cui i colori più chiari rappresentano le frequenze con ampiezza maggiore. In questo caso, l’asse delle ordinate rappresenta le frequenze e l’asse delle ascisse rappresenta il tempo. Possiamo così rappresentare l’evoluzione nel tempo di uno spettro sonoro.
In figura vediamo la rappresentazione della distribuzione delle ampiezze nello spettro dell’OM, cioè il suo spettrogramma, nel range di frequenze tra 4 000 000 Hz e 4 001 500 Hz (ben al di là delle frequenze udibili dall’orecchio umano!). I punti più in alto sull’asse verticale delle ordinate, sono le frequenze che risuonano maggiormente nella forma d’onda rappresentata nella figura precedente, quelle corrispondenti ai numeri composti. I punti al livello del mare invece (quelli sulla retta orizzontale in basso), sono invece le frequenze corrispondenti ai Numeri Primi, che sono tutte esattamente della stessa ampiezza, quella minima presente nello spettro. Le formule che generano questa forma d’onda e questa distribuzione di ampiezze sono semplicissime. La complessità più intricata spesso nasconde dei principi generatori semplicissimi: è il famoso Effetto Farfalla di cui parla Edward N. Lorenz (West Hartford, 1917 – Cambridge, 2008). Così come gli astronomi, attraverso una rappresentazione grafica delle variazioni di densità della radiazione di fondo dell’Universo possono ricostruire la mappa dell’Universo Primordiale, noi attraverso una rappresentazione grafica della diversa ampiezza delle frequenze dell’OM generato da infinite corde simpatiche che vibrano in sintonia con un’unica corda fondamentale, possiamo ricostruire la Mappa dei Numeri Naturali. Se lo facessimo, ci ritroveremmo con una immagine sorprendentemente simile a quella della Mappa della Radiazione di Fondo. Ciò che troveremmo in essa, rappresentata da infinite macchie scure e perfettamente definite (corrispondenti ai punti al livello minimo nello spettrogramma), è proprio la posizione esatta di tutti gli infiniti Numeri Primi tra i Numeri Naturali. La dimostrazione è semplice da spiegare. Le frequenze comuni alle diverse corde, quelle che sono multiple di più di una fondamentale, si rafforzano tra loro, e compaiono nello spettrogramma come macchie più chiare (nello spettrogramma, come punti in posizione più elevata). È il principio di risonanza simpatica di cui abbiamo parlato prima. Le frequenze corrispondenti ai Numeri Primi, invece, rimangono della stessa ampiezza, perché appartengono soltanto alla corda fondamentale e risaltano come macchie più scure (sono i punti in posizione più bassa nello spettrogramma). Questi avvallamenti dello spettro armonico si dispongono in un modo apparentemente caotico e privo di qualsiasi principio generatore. Chi guardasse questa mappa senza sapere di cosa si tratta, potrebbe pensare che dietro tutto ciò non vi sia null’altro che il puro caos o un principio totalmente inconoscibile dalla mente umana, come pensò Leonhard Euler nel XVIII Secolo. Ma una volta trovata la Chiave, si scopre che questo moto caotico è il risultato della Perfetta Armonia Universale di infinite corde vibranti in sintonia con una corda vibrante fondamentale, tutte esattamente intonate con le armoniche di questa corda.
Scopriamo allora che dietro al caos dei Numeri Primi ci sta ben altro che il lancio di una moneta! E dietro al caos quantistico degli Atomi, del tutto simile a quello dei Numeri Primi?
Questa è l’Armonia che Riemann aveva cominciato a intravedere al di là dei numeri primi più di 160 anni fa! Significa che la famosa Ipotesi di Riemann è vera, cioè che tutti gli zeri della sua Funzione Zeta si dispongono esattamente sulla linea critica 1/2? È questa la prova del più grande problema aperto della matematica?
Lo scopriremo presto. Per ora, limitiamoci a considerare quanto sia straordinario che la Mappa dell’Universo Primordiale e la Mappa dei Numeri Naturali generata dallo spettro armonico del Suono dell’OM, il Suono della Creazione che definisce la posizione di tutti i Numeri Primi, siano così simili.
Ma c’è una cosa ancora più straordinaria. Torniamo al Teorema Fondamentale dell’Aritmetica, che ci dice che ogni Numero Naturale è composto da una e una sola combinazione di Numeri Primi, così come ogni molecola è composta da una e una sola combinazione di Atomi. L’Uno non è considerato un Numero Primo. Perché? Proprio perché l’Uno divide ogni Numero Naturale ed è quindi l’Onnipresente.
L’Uno rappresenta la Totalità e in quanto totalità non può far parte delle sue stesse componenti.
Consideriamo ora come i Numeri Primi si compongono per creare tutti i Numeri Naturali, cioè l’Uno, così come gli atomi si compongono per creare la totalità dell’Universo in cui viviamo. Lo possiamo fare partendo dalla prima corda simpatica con fondamentale 2. Non consideriamo per ora l’ampiezza delle diverse frequenze, ma solo la loro presenza o meno nello spettro. Vediamo quindi che, da sola, questa corda presenta infiniti buchi corrispondenti alle frequenze dispari. Se aggiungiamo la corda simpatica composta da tutti i multipli del numero primo successivo che è 3, vediamo che essa riempie alcuni di questi buchi, ma non tutti.
Aggiungendo la corda con fondamentale 4 (multipli di 4), non cambia nulla, perché tutti i multipli di 4 sono anche multipli di 2. Solo la corda che ha frequenze corrispondenti ai multipli di 5, che è un Numero Primo, cambia ulteriormente lo spettro armonico, aggiungendo alcuni tasselli mancanti, ma non tutti! Lo possiamo intuire: solo aggiungendo tutti i Numeri Primi e i loro armonici, possiamo ricostruire la totalità dei Numeri Naturali, cioè tutte le frequenze che appartengono alla Corda Fondamentale che ha frequenza Uno.
Questo è il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica, e proprio in esso risiede la Chiave per dimostrare l’Ipotesi di Riemann, il più importante problema aperto di tutta la Matematica: ne parleremo nella seconda parte dell’articolo. Ogni Numero Primo, con i suoi infiniti armonici, modifica leggermente lo spettro armonico dell’OM, e questa modifica continua per sempre, influenzando ciò che avviene dopo miliardi e miliardi di armonici. Ma solo tutti insieme, i Numeri Primi e i loro armonici possono coincidere con l’Uno, la Totalità, completando tutte le tessere del puzzle. In un certo senso, questo avviene anche per noi. Ciascuno di noi dà un contributo, per quanto piccolo, comunque fondamentale e indispensabile all’Universo e questo contributo, come se fosse l’infinita serie dei nostri armonici, resterà per sempre, aggiungendo qualcosa di permanente alla Creazione. Anche se non saremo più presenti nella forma attuale, le risonanze armoniche di ognuno di noi, avranno piantato semi che saranno germogliati magari chissà dove e in modi sorprendenti, così come le armoniche di ogni Numero Primo creano complesse e inaspettate configurazioni che emergono in frequenze miliardi e miliardi di volte superiori, fino all’infinito. Ma solo tutti insieme, possiamo coincidere con il Tutto, con l’Uno che è il Creatore e che include tutto e tutti, diventando noi stessi Co-Creatori dell’Opera d’Arte dell’Esistenza. Nell’analizzare come i Numeri Primi si compongono per coincidere con la totalità dei Numeri Naturali, ci accorgiamo quindi che tutte le Serie Armoniche delle corde vibranti simpatiche sono contenute nella Serie Armonica della Corda Fondamentale, che è quindi composta da infinite copie di se stessa. Questa struttura che genera i Numeri Primi è quindi quella che si chiama un Frattale, in cui ogni componente contiene in se stesso la struttura della totalità. È il principio che definisce gli ologrammi: la proiezione olografica della Serie Armonica genera un prisma di infinite rifrazioni che determinano la posizione esatta dei Numeri Primi, la cui caotica distribuzione era fino a oggi considerata un Mistero impenetrabile.
Ritorniamo con la mente al Suono del Big Bang e alla miracolosa corrispondenza che esiste tra il Suono della Creazione, l’OM, il frattale della Serie Armonica delle Serie Armoniche, la vibrazione delle corde, la risonanza simpatica, la struttura dell’Universo Primordiale, i moti quantistici degli Atomi, e la distribuzione dei Numeri Primi, gli Atomi della Matematica. Non possiamo che restare stupefatti di fronte alla meraviglia della Perfetta Armonia Universale del Creato, che nella sua esplosione di infinite Risonanze genera la complessità dell’Universo Primordiale e con essa il moto caotico quantistico che muove tanto gli atomi della materia quanto gli Atomi della Matematica, cioè i Numeri Primi. Sappiamo che la Teoria della Relatività Generale, che rappresenta il macroscopicamente grande e la Fisica Quantistica, che rappresenta il microscopicamente piccolo, non riescono ad oggi a trovare un terreno comune. Quanto è stato appena dimostrato sembra unirle perfettamente! La più perfetta Armonia Razionale e la più intricata Complessità irrazionale coincidono nel Suono dell’OM, e la complessità del microscopico include in sé la complessità del macroscopico.
Questa non è solo la dimostrazione matematica della Coincidentia Oppositorum, l’Unione degli Opposti del Rebis Alchemico, ma anche del Principio Esoterico per eccellenza: Come in Alto così in Basso, inciso sulla Tavola di Smeraldo, che si dice sia stata ritrovata in Egitto prima dell’era Cristiana, opera del leggendario Ermete Trismegisto, che gli Antichi Egizi identificavano con il dio Toth, dio della Luna, della sapienza e della matematica. Un’armonia complessa che ora vede noi come protagonisti, per completare l’Opera cominciata e incompiuta. Una volta che si conosce la Chiave di un fenomeno che prima risultava troppo complesso per essere compreso, si diventa capaci non soltanto di replicarlo, ma anche di modificarlo, cambiando le variabili della formula che lo genera, con risultati straordinari e inesauribili. Ora questa Conoscenza ci è stata donata. Facciamone buon uso! Abbiamo cominciato parlando dei Numeri Primi, e abbiamo scoperto che sono i Numeri Primi a parlare di noi. Infatti, anche noi, nelle nostre straordinarie e complesse interazioni, siamo come infinite Corde Simpatiche che risuonano con un’unica Corda Fondamentale, pizzicata dal Creatore. Ma allo stesso tempo, in quanto individui, siamo come i Numeri Primi da essa generati: infinite gemme incastonate nelle Vibrazioni Armoniche dell’Universo, ciascuna unica, preziosa e insostituibile!
L’Anello Mancante
In questo articolo, abbiamo dimostrato come il Caos irrazionale dei Numeri Primi sia prodotto dalla più perfetta Armonia Razionale, che coincide con la Tavola Pitagorica e con il suo reciproco che è il Quadrato della Serie Armonica, la quale si manifesta sul piano Fisico nel Suono dell’OM, prodotto dalla vibrazione di infinite Corde Simpatiche in sintonia con una Corda Fondamentale. Questa dimostrazione prova matematicamente l’identità tra Mente Razionale e Mente irrazionale, le quali sono due facce dello stesso Principio di Creazione, che è l’Uno. Nella Spiritualità Orientale, tale Principio di Creazione si trova espresso nel suono dell’OM. Nella Spiritualità Occidentale, tale Principio di Creazione si trova invece espresso nell’Incipit della Genesi, rappresentato simbolicamente dalla Terra e dal Cielo.
Questa dimostrazione, quindi, prova matematicamente anche l’Unità tra la Spiritualità Orientale e quella Occidentale, tra i due Emisferi del Mondo così come tra i due Emisferi del Cervello.
Ma se a livello della Matematica, cioè del Cielo, tale dimostrazione può essere data, può esserlo anche a livello della Terra, cioè del Mondo Fisico? Può essere il Cielo un posto sulla Terra, come afferma la celebre canzone di Belinda Carlisle? Gli Atomi della Matematica, generati da una Perfetta Armonia Universale, sono davvero uguali agli Atomi della Fisica? Possiamo sentire che è così, ma per dimostrarlo matematicamente, l’Anello Mancante è soltanto uno: dimostrare l’Ipotesi di Riemann.
Il lavoro di Mussardo e LeClair ci dice che, a una rigorosa osservazione empirica, gli Atomi della Matematica si comportano esattamente come gli Atomi della Fisica e questo sembra implicare l’Ipotesi di Riemann.
Ma non è sufficiente per dimostrarlo. Senza provare l’Ipotesi di Riemann, non possiamo provare che tutti gli infiniti Numeri Primi si comportano esattamente come gli Atomi, e senza provare che tutti i Numeri Primi si comportano come gli Atomi, non possiamo dimostrare che la stessa Armonia Universale che determina il moto dei Numeri Primi determina anche il moto degli Atomi. Siamo sulla Soglia di una delle scoperte più dirompenti sia della Matematica che della Fisica, ed è nostro dovere oltrepassare questa Soglia: siamo pronti per farlo. Ritengo che abbiamo la Chiave per arrivare a questa dimostrazione, e ritengo quindi mio dovere aprire un Dialogo con la Comunità Scientifica. Descriverò quindi sinteticamente qual è a mio avviso la Chiave per dimostrare l’Ipotesi di Riemann, con la speranza di suscitare l’interesse da parte della Comunità Scientifica per aprire questo Dialogo, condividendo così i lavori più tecnici che ho svolto, tra cui vi è proprio uno studio relativo alla Dimostrazione dell’Ipotesi di Riemann. Questo lavoro (che è altra cosa rispetto a quanto ho esposto in precedenza) si trova al momento al vaglio della prestigiosa rivista Annals of Mathematics dell’Institute for Advanced Study di Princeton. Sono perfettamente consapevole che una dimostrazione formalmente ineccepibile del più importante problema aperto della Matematica, da parte di un musicista privo di formazione Accademica nel campo matematico, sia qualcosa di estremamente arduo sia per chi la deve proporre che per chi la deve accettare. Sono però convinto che la direzione intrapresa sia quella giusta e che questo Dialogo, iniziato anche per mezzo di questo Blog e indipendentemente dall’esito di questo primo passo, porterà alla Soluzione molto presto, con conseguenze estremamente positive per tutto e per tutti. Sono molto grato per questo al caro Prof. Di Bernardo, che ha permesso così di gettare questo Ponte. Ma ora cerchiamo di comprendere questa Chiave, provando a connetterla a quanto abbiamo esposto in precedenza. L’esposizione si riferirà ora ad alcuni concetti matematici ben conosciuti e dimostrati. Il lettore inesperto può riconoscerli come veri anche senza comprenderli fino in fondo: la coerenza logica della dimostrazione resta comunque comprensibile, così come il particolare modo di connettere tra loro questi concetti. È proprio tale collegamento che rappresenta una potenziale novità ancora da riconoscere per la Comunità Scientifica. È quindi anche agli eventuali lettori esperti che mi rivolgo con questa mia sintetica esposizione, e sarò ben felice di condividere più dettagli in caso di interesse. Ritorniamo quindi a considerare il modo in cui i Numeri Primi, con i loro multipli, si uniscono tra loro per coincidere con l’Uno, la Totalità, che è la Corda Vibrante Fondamentale da cui tutto si genera. Abbiamo già descritto questo processo in precedenza, parlando del Teorema Fondamentale dell’Aritmetica. Se noi consideriamo lo spazio occupato nella totalità dello spettro, cioè l’Uno, dai Numeri Primi con i loro multipli, cioè i loro “armonici”, possiamo dimostrare che la differenza tra questo spazio e il reciproco del Logaritmo Naturale si riduce a zero. A mio avviso, questo implica la validità dell’Ipotesi di Riemann. Partiamo dalla corda simpatica corrispondente al primo Numero Primo, cioè 2, i cui armonici sono tutti i multipli di 2 (cioè i numeri pari). Si può intuire che lo spazio occupato da questa corda nel totale dello spettro che corrisponde a 1 è esattamente la metà. Questo può essere rappresentato sottraendo 1/2 da 1:
Il prossimo “buco” nello spettro corrisponderà al Numero Primo successivo, cioè 3. I multipli di 3 occuperanno uno spazio che corrisponde a 1/3 del totale dei Numeri Naturali, ma escludendo tutti i multipli di 2 che abbiamo tolto in precedenza. Possiamo rappresentare questo con
In questo modo, dallo spazio occupato dai multipli/armonici di 3 viene esclusa la quantità precedente.
È evidente che tutti gli armonici della Corda Simpatica con fondamentale 4, corrispondenti ai multipli di 4, sono già occupati dai multipli di 2 e non occuperanno ulteriore spazio. La prossima variazione nello spettro si avrà soltanto con il Numero Primo successivo che è 5 e lo spazio totale occupato dai suoi multipli sarà:
perché dobbiamo escludere i Numeri Primi precedenti con i loro multipli.
Se noi estendiamo questo processo alla totalità dei Numeri Primi otteniamo il seguente prodotto infinito:
dove p rappresenta l’n-esimo Numero Primo. Al crescere di p, questo prodotto corrisponde alla densità dei Numeri Primi in rapporto alla Totalità dei Numeri Naturali. Ma questo prodotto non è altro che il reciproco del famoso Prodotto di Eulero, uno dei più importanti risultati della Matematica.
Il reciproco del Prodotto di Eulero coincide il reciproco della Funzione Zeta di Riemann ad esponente 1, che a sua volta coincide con il limite infinito del reciproco del Logaritmo Naturale più una piccola costante chiamata Costante di Eulero Mascheroni, il cui valore è all’incirca 0,57721. Quanto abbiamo detto è vero complessivamente, cioè considerando tutti gli infiniti termini del reciproco del Prodotto di Eulero in relazione agli infiniti Numeri Primi. Resta però da collegare la crescita del Prodotto di Eulero con il Logaritmo Naturale al crescere della loro variabile indipendente. Straordinariamente, il Terzo Teorema di Merthens, ci consente di dimostrare che la crescita del Prodotto di Eulero coincide perfettamente con quella del Logaritmo Naturale. Per mettere “in fase” le due funzioni, è sufficiente moltiplicare il Prodotto di Eulero per e-ϒ, dove e è il Numero di Eulero (una costante presente ovunque in natura, perché intrinseca ai processi di crescita organica) e ϒ è la Costante di Eulero Mascheroni, che compare ovunque nella Teoria dei Numeri perché è il limite della differenza tra la Serie Armonica e il Logaritmo Naturale. Mediante questo adattamento, possiamo confermare che la differenza tra il Prodotto di Eulero e il Logaritmo Naturale, all’infinito tende a zero, e così vale per il suo reciproco che, come abbiamo visto, corrisponde alla densità dei Numeri Primi. La crescita dei Numeri Primi si calcola con l’integrale della loro densità: di conseguenza anche la differenza tra la crescita dell’integrale della densità dei Numeri Primi e la crescita dell’integrale del reciproco del Logaritmo Naturale, si riduce gradualmente e senza deviazioni. Ma l’integrale del reciproco del Logaritmo Naturale è proprio il Logaritmo Integrale, e l’Ipotesi di Riemann implica che la differenza tra la quantità dei Numeri Primi e il Logaritmo Integrale resti all’interno di un limite di errore molto preciso, che si è dimostrato essere il “minore possibile”. Ora, un’enorme mole di valori sequenziali della Funzione Enumerativa dei Numeri Primi è stata fino a oggi calcolata, e nessuno di essi si discosta da questo limite dell’errore, confermando quindi l’Ipotesi di Riemann. La mia tesi è che se, come abbiamo dimostrato, la differenza tra la densità dei Numeri Primi e il reciproco del Logaritmo Naturale tende ad azzerarsi senza deviazioni possibili, anche tutti gli infiniti valori della Funzione Enumerativa dei Numeri Primi superiori a quelli calcolati fino a oggi restano necessariamente all’interno del limite di errore che implica la validità dell’Ipotesi di Riemann.
Di conseguenza, tutti gli Zeri non Banali della Funzione Zeta di Riemann hanno parte reale 1/2.
Questo, a mio avviso, dimostra l’Ipotesi di Riemann senza bisogno di ulteriori calcoli o conferme.
Se la Comunità Scientifica potrà confermare tale risultato, sulla base di ciò che ho consegnato all’Institute for Advanced Study o sulla base di ulteriori calcoli e lavori di verifica computazionale, potremo finalmente aggiungere l’Anello Mancante, dimostrando così che gli Atomi della Matematica e gli Atomi della Materia sono il risultato della stessa, perfetta Armonia Universale che già secondo gli antichi Pitagorici regolava il movimento degli Astri. Il Matrimonio tra i due Emisferi del Cervello e tra i due Emisferi del Mondo, diventa quindi il Matrimonio tra Cielo e Terra e, chissà, forse anche tra Fisica Quantistica e Relatività Generale.
Sono convinto che l’Umanità, nel 2024, si meriti una simile conquista! Indipendentemente da questo, spero che il Dialogo possa continuare. Come si dice, quello che conta è la Meta, ma ancor di più il Viaggio! Resto quindi disponibile a condividere ulteriori dettagli della mia ricerca.
